Si les mathématiques sont parfois surnommées la « poésie des sciences », elles cachent aussi leurs mystères, vieux de plusieurs millénaires… et viennent, peut-être, d’en voir un approcher la résolution. Préparez votre cerveau, on plonge dans un casse-tête antique où fractions, couleurs et chercheurs au bord de la crise de nerfs se donnent rendez-vous. Qui a dit que les maths étaient ennuyeuses ?
Les fractions unitaires : un héritage antique à la sauce égyptienne
Dès l’Antiquité, les Égyptiens jouaient déjà avec les nombres pour comprendre et transformer leur monde. Mais, même entourée de savants, la civilisation des pyramides s’est heurtée à un problème qui leur a résisté, décrit comme « le plus ancien qui soit » par Carl Pomerance, mathématicien au prestigieux Dartmouth College. Ce casse-tête, resté sans réponse pendant des siècles, concerne les fameuses fractions unitaires : des fractions avec 1 au numérateur, style 1/2 ou 1/4. Les Égyptiens utilisaient surtout ces fractions (avec quelques exceptions, comme 2/3 ou possiblement 3/4), et toute fraction plus complexe était décomposée en somme de fractions unitaires. Par exemple, 2/7 se transforme en 1/4 + 1/28 (attention, si vous avez l’esprit taquin, vous noterez que ça ne fait pas exactement 2/7, mais restons fidèles à la méthode égyptienne…).
Des conjectures flashy : Erdős, Graham et les seaux colorés
Dans les années 1970, Paul Erdős et Ronald Graham remettent ce sujet poussiéreux sur le devant de la scène mathématique avec une conjecture aussi troublante que colorée : « Tout ensemble représentant une proportion positive suffisamment grande d’entiers doit contenir un sous-ensemble d’entiers dont les inverses s’additionnent pour donner exactement 1. » En clair, dans l’ensemble {1,2,8,3,6}, on trouve bien {2,3,6} puisque 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1. Simple comme bonjour – ou pas du tout, selon les matheux…
- La question intrigue tant qu’Andrew Granville, de l’Université de Montréal, affirme avec humour (ou désespoir) : « Aucune personne saine d’esprit ne pourra jamais y répondre. »
- Dans la version dite « coloriée » du problème, étudiée à la fin des années 1990 et au début des années 2000 par Ernie Croot, il s’agit de ranger les entiers dans des seaux de différentes couleurs. Peu importe le coloriage, au moins un seau contiendrait à coup sûr ce fameux sous-ensemble magique.
Pour prouver cette version, Croot a sorti l’artillerie lourde des mathématiques modernes, utilisant en particulier des outils d’analyse harmonique, et a démontré la version coloriée, sans pour autant indiquer précisément où chercher ce sous-ensemble dans tous ces seaux colorés.
Thomas Bloom : l’audace de se frotter au problème (et pas qu’avec des crayons de couleur)
Là où certains hésiteraient, Thomas Bloom, mathématicien à Oxford, s’est plongé dans ce labyrinthe, poursuivant la réflexion et osant s’attaquer aux zones d’ombre délaissées par Croot. Pour cela, il a repris l’outil de la « somme exponentielle », un genre d’intégrale exotique permettant d’estimer l’existence d’au moins une solution à ce problème de fractions unitaires.
- Bloom applique la méthode mais se confronte au défi des entiers possédant de gros facteurs premiers, là où les fractions deviennent têtues et refusent de se réduire gentiment.
- À force de calculs (et probablement de litres de café), il utilise une technique voisine de l’essai-erreur : additionner des inverses, mettre certains résultats de côté (par exemple 1/3), et manipuler ces sommes jusqu’à obtenir ce 1 tant convoité.
Et si la méthode ne clôt pas tout à fait l’énigme (certains cas restent mystérieux), elle bouscule la communauté scientifique. Izabella Laba, de l’Université de Colombie-Britannique, salue ainsi « un résultat exceptionnel ».
Des secrets qui restent à percer et des promesses… pour demain !
Même si la nouvelle piste ouverte par Bloom rapproche la communauté d’une solution, le mystère subsiste. La grande question, à présent, est de débusquer les exceptions à la règle dévoilée par Bloom, ces petits coins sombres où les inverses d’entiers refusent obstinément de donner 1. En attendant, la fameuse conjecture d’Erdős-Graham continue de narguer les chercheurs, tout en promettant d’intéressants échanges pour l’avenir.
Conclusion ? Au-delà de ces équations à rendre fou, l’étude de ces fractions a d’ores et déjà des retombées concrètes potentielles, notamment en informatique ou en codage. Mais il faudra sûrement patienter des années, voire des décennies, pour voir éclore des applications directes de cette recherche.
D’ici là, rassurez-vous : il reste tout plein d’énigmes antiques à exhumer ! Les mathématiciens, jamais à court d’imagination, ont encore fort à faire pour continuer à faire avancer la connaissance et, qui sait, peut-être titiller l’esprit logique qui sommeille au fond de chacun de nous (oui, même vous qui paniquez devant 1/4 + 1/28…).
Emmanuel est passionné par l’informatique, l’intelligence artificielle et les innovations technologiques. Il aime vulgariser des sujets complexes pour les rendre accessibles à tous. Curieux et rigoureux, il partage ses découvertes à travers ses articles sur le site.
